Đạo Hàm Của u/v

Mô tả sản phẩm

Đạo hàm của u/v, với u và v là các hàm số của x, được tính theo công thức: (u/v)' = (u'v - uv')/v². Đây là công thức đạo hàm thương số, một công thức quan trọng trong giải tích.

Công thức đạo hàm thương số

Chứng minh công thức

Để chứng minh công thức này, ta sử dụng định nghĩa đạo hàm và tính chất giới hạn. Giả sử f(x) = u(x)/v(x). Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f'(x) = lim (h→0) [(f(x+h) - f(x))/h] = lim (h→0) [u(x+h)/v(x+h) - u(x)/v(x)]/h. Sau khi biến đổi và sử dụng các giới hạn cần thiết, ta thu được kết quả (u'v - uv')/v². Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong nhiều giáo trình giải tích.

Ứng dụng của công thức đạo hàm thương số

Công thức này được ứng dụng rộng rãi trong việc tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, đặc biệt là các hàm số có dạng phân thức. Ví dụ, khi tính đạo hàm của hàm số y = (x² + 1)/(x - 2), ta áp dụng công thức trên với u = x² + 1 và v = x - 2. Tương tự, công thức này cũng hữu ích trong việc giải các bài toán ứng dụng liên quan đến tốc độ thay đổi, gia tốc, v.v.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = (x³ + 2x)/(x² + 1). Hãy tính đạo hàm y'. Áp dụng công thức đạo hàm thương số, với u = x³ + 2x và v = x² + 1, ta có: u' = 3x² + 2 v' = 2x y' = [(3x² + 2)(x² + 1) - (x³ + 2x)(2x)] / (x² + 1)² = (x⁴ + 3x² + 2 - 2x⁴ - 4x²) / (x² + 1)² = (-x⁴ - x² + 2) / (x² + 1)²

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = sin(x)/x. Hãy tính đạo hàm y'. Áp dụng công thức đạo hàm thương số, với u = sin(x) và v = x, ta có: u' = cos(x) v' = 1 y' = [x cos(x) - sin(x)] / x² Như vậy, công thức đạo hàm thương số là một công cụ quan trọng trong phép tính đạo hàm. Việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng nó sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.

Sản phẩm hữu ích: đơn vị đo chiều dài là gì

Sản phẩm liên quan: hình ảnh chuối lá

Sản phẩm liên quan: lục lăng là gì