Phương trình đi qua 2 điểm cực trị

Mô tả sản phẩm

Phương trình đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) được xác định bằng cách loại bỏ tham số t trong hệ phương trình:
{f'(x) = 0
y = f(x)
Thông thường, ta sẽ tìm đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 để tìm tọa độ x của các điểm cực trị. Sau đó, thay các giá trị x này vào hàm số f(x) để tìm tọa độ y tương ứng. Cuối cùng, dựa trên các điểm cực trị tìm được, ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua chúng. Tuy nhiên, phương pháp này khá phức tạp, đặc biệt với các hàm số bậc cao. May mắn thay, có một công thức tổng quát giúp tìm nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Công thức tổng quát tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Đối với hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) là: y = -b/3a x + (2b² - 9ac)/9a.

Chứng minh công thức

Để chứng minh công thức này, ta có thể sử dụng phép chia đa thức. Ta viết lại hàm số bậc ba dưới dạng: y = a(x - x1)(x - x2)(x - x3), với x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình f'(x) = 0. Sau khi tìm đạo hàm f'(x) = 0 và giải phương trình, ta tìm được các nghiệm x1, x2. Ta có thể viết lại hàm số y như sau: y = a(x-x1)(x-x2) + d, với d là một hằng số. Tiếp theo, ta thực hiện phép chia đa thức y cho f'(x), phần dư chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Quá trình này khá phức tạp và yêu cầu kiến thức về đại số. Tuy nhiên, kết quả cuối cùng cho ta công thức tổng quát đã nêu ở trên.

Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Trong trường hợp này, a = 1, b = -3, c = 0, d = 2. Áp dụng công thức, ta có: y = -(-3)/(3*1)x + (2*(-3)² - 9*1*0)/(9*1) = x + 2

Ứng dụng thực tiễn

Phương trình đi qua hai điểm cực trị có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan như vật lý, kỹ thuật. Nó giúp ta nhanh chóng xác định được vị trí của các điểm cực trị và đặc điểm của đồ thị hàm số, từ đó hỗ trợ giải quyết các bài toán tối ưu hóa, phân tích dữ liệu, mô hình hóa hiện tượng…

Sản phẩm liên quan: bộ đề ôn tập toán lớp 3

Sản phẩm hữu ích: siêu nhân gao tiếng anh là gì

Sản phẩm liên quan: tính chu vi tam giác abc