Hàm số bậc 3 nghịch biến trên R

Mô tả sản phẩm

Để hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d nghịch biến trên R, điều kiện cần và đủ là đạo hàm của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R, và tồn tại ít nhất một giá trị x đạo hàm bằng 0. Điều này có nghĩa là hàm số luôn giảm hoặc không đổi trên toàn bộ tập số thực.

Điều kiện để hàm số bậc 3 nghịch biến trên R

Đạo hàm của hàm số bậc 3

Đạo hàm của hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d là y' = 3ax² + 2bx + c. Để hàm số nghịch biến trên R, đạo hàm y' phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. Điều này dẫn đến một hệ điều kiện phức tạp hơn so với hàm số bậc nhất hoặc bậc hai. Tuy nhiên, ta có thể suy ra điều kiện cần và đủ là:

• Hệ số a phải nhỏ hơn 0 (a < 0).
• Biểu thức Δ = b² - 3ac phải nhỏ hơn hoặc bằng 0 (Δ ≤ 0).

Nếu a < 0 và Δ ≤ 0, thì parabol y' = 3ax² + 2bx + c nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành (hoặc tiếp xúc với trục hoành tại một điểm), đảm bảo y' ≤ 0 với mọi x. Do đó, hàm số y = ax³ + bx² + cx + d nghịch biến trên toàn bộ tập số thực R. Lưu ý rằng điều kiện a < 0 và Δ ≤ 0 là điều kiện cần và đủ để hàm số bậc 3 nghịch biến trên R. Nếu chỉ có a < 0 nhưng Δ > 0, hàm số sẽ không nghịch biến trên toàn bộ R. Ví dụ: Hàm số y = -x³ - 3x có a = -1 < 0, b = 0, c = -3. Δ = b² - 3ac = 0² - 3(-1)(-3) = -9 ≤ 0. Do đó, hàm số này nghịch biến trên R.

Sản phẩm liên quan: bài họa sĩ hươu lớp 2

Sản phẩm hữu ích: tính từ kí hiệu là gì

Xem thêm: tính diện tích hình bình hành có độ dài đáy