Hàm số bậc 3 đồng biến trên R khi nào?

Mô tả sản phẩm

Hàm số bậc 3 y = ax³ + bx² + cx + d đồng biến trên R khi và chỉ khi hệ số của x³ dương (a > 0) và phương trình y' = 3ax² + 2bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm.

Điều kiện cần và đủ để hàm số bậc 3 đồng biến trên R

Hệ số a dương

Điều kiện đầu tiên và quan trọng nhất là hệ số a của x³ phải dương (a > 0). Nếu a ≤ 0, hàm số sẽ không thể đồng biến trên toàn bộ tập số thực R.

Đạo hàm bậc nhất

Để kiểm tra tính đồng biến trên toàn tập R, ta cần xét đạo hàm bậc nhất của hàm số: y' = 3ax² + 2bx + c. Nếu hàm số đồng biến trên R, thì đạo hàm y' phải luôn không âm (≥ 0) với mọi x thuộc R.

Phương trình y' = 0

Điều kiện tiếp theo là phương trình y' = 3ax² + 2bx + c = 0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm. Điều này đảm bảo rằng đạo hàm y' luôn không âm (≥ 0) trên toàn bộ tập số thực R. Nếu phương trình có nghiệm dương hoặc hai nghiệm phân biệt, hàm số sẽ không đồng biến trên R.

Kết luận

Tóm lại, hàm số bậc 3 y = ax³ + bx² + cx + d đồng biến trên R khi và chỉ khi a > 0 và Δ' = b² - 3ac ≤ 0 (vô nghiệm hoặc nghiệm kép) hoặc nếu có nghiệm kép thì nghiệm kép đó phải âm. Nếu Δ' > 0 và có 2 nghiệm trái dấu thì hàm số không đồng biến trên R.

Sản phẩm hữu ích: hộp đựng đũa thông minh

Xem thêm: phân loại năng lượng

Xem thêm: nằm mơ thấy người khác bị điện giật

Sản phẩm hữu ích: trực tâm và trọng tâm