Đạo hàm của u/v

Mô tả sản phẩm

Đạo hàm của u/v, với u và v là các hàm số của x, được tính theo công thức: (u/v)' = (u'v - uv')/v².

Công thức đạo hàm của thương số

Chứng minh công thức

Để chứng minh công thức đạo hàm của u/v, ta sử dụng định nghĩa đạo hàm và tính chất của giới hạn. Giả sử f(x) = u(x)/v(x). Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

f'(x) = lim_Δx→0 [(u(x+Δx)/v(x+Δx) - u(x)/v(x))/Δx]

Sau khi biến đổi và sử dụng các quy tắc giới hạn, ta thu được kết quả cuối cùng là (u'v - uv')/v².

Ứng dụng của công thức

Công thức đạo hàm của thương số được ứng dụng rộng rãi trong giải tích, đặc biệt trong việc tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Ví dụ, nó được dùng để tính đạo hàm của các hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các hàm hợp khác.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = (x² + 1)/(x - 2). Tính đạo hàm y'.

Trong trường hợp này, u = x² + 1 và v = x - 2. Áp dụng công thức đạo hàm của thương số, ta có:

y' = [(2x)(x - 2) - (x² + 1)(1)]/(x - 2)² = (x² - 4x - 1)/(x - 2)²

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = sinx/cosx = tanx. Tính đạo hàm y'.

Áp dụng công thức đạo hàm của thương số với u = sinx và v = cosx, ta có:

y' = [(cosx)(cosx) - (sinx)(-sinx)]/(cosx)² = (cos²x + sin²x)/(cos²x) = 1/(cos²x) = sec²x

Như vậy, công thức đạo hàm của u/v là một công cụ quan trọng trong việc tính toán đạo hàm của các hàm số. Hiểu rõ công thức và cách áp dụng sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đạo hàm một cách hiệu quả.

Xem thêm: bảng tên nguyên tố hoá học tiếng anh

Xem thêm: thế năng của một vật không phụ thuộc vào xét vật rơi trong trọng trường

Sản phẩm hữu ích: giảm 5 tính như thế nào

Sản phẩm hữu ích: sua hươu cao cổ

Sản phẩm hữu ích: cách làm sạch ổ đĩa c