Chứng minh công thức đạo hàm

Mô tả sản phẩm

Chứng minh công thức đạo hàm là quá trình sử dụng định nghĩa đạo hàm để suy ra các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản và phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết quá trình chứng minh một số công thức đạo hàm quan trọng.

Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn của tỷ số gia

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm được định nghĩa là giới hạn của tỷ số gia của hàm số đó khi biến tiến tới điểm đó. Cụ thể, cho hàm số y = f(x), đạo hàm của f(x) tại điểm x₀ được ký hiệu là f'(x₀) hoặc dy/dx|_x=x0 và được tính bằng: f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại x₀.

Chứng minh một số công thức đạo hàm cơ bản

Đạo hàm của hàm hằng số

Cho hàm số y = c, với c là hằng số. Khi đó: f'(x) = lim_Δx→0 [c - c] / Δx = lim_Δx→0 0 = 0 Vậy đạo hàm của hàm hằng số bằng 0.

Đạo hàm của hàm số y = xⁿ

Với n là số nguyên dương, ta có: f'(x) = lim_Δx→0 [(x + Δx)ⁿ - xⁿ] / Δx. Sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển (x + Δx)ⁿ, sau đó rút gọn và tính giới hạn, ta được: f'(x) = nx^n-1

Đạo hàm của hàm số y = sinx

f'(x) = lim_Δx→0 [sin(x + Δx) - sinx] / Δx. Sử dụng công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích, ta có: f'(x) = lim_Δx→0 [2cos(x + Δx/2)sin(Δx/2)] / Δx = lim_Δx→0 cos(x + Δx/2) * lim_Δx→0 [sin(Δx/2)] / (Δx/2) = cosx * 1 = cosx Vậy đạo hàm của sinx là cosx. Tương tự, ta có thể chứng minh đạo hàm của cosx là -sinx.

Lưu ý:

Các chứng minh trên chỉ là một số ví dụ cơ bản. Chứng minh đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn đòi hỏi sử dụng nhiều kỹ thuật toán học khác nhau, bao gồm quy tắc đạo hàm của tổng, tích, thương, và các quy tắc đạo hàm của hàm hợp.

Sản phẩm liên quan: động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng

Sản phẩm liên quan: trò chơi dân gian tranh vẽ

Sản phẩm liên quan: cách làm giảm sưng khi bị ong đốt

Sản phẩm liên quan: băng gâu là gì